Le chaos déterministe

Un système dynamique déterministe est un système évoluant avec le temps en suivant une loi pré-établie.

En général, la loi d'évolution est locale : à chaque instant elle ne donne l'évolution du système que sur un temps très court. On cherche à connaître l'évolution globale du système, en particulier son comportement quand le temps tend vers l'infini.

Exemple physique : oscillation d'un pendule. Le bilan des forces permet de connaître l'accélération. Pour connaître l'évolution à long terme, il faut résoudre une équation différentielle. Un pendule sans frottement oscille de façon périodique sans jamais s'arrêter.

Le temps peut également être discret, c'est-à-dire qu'il vaut successivement 0,1,2,3,..., 1742,... Exemple : suite récurrente $u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)$. L'étude de la fonction $f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{a}{x}\right)$ permet de voir que la suite converge vers le point $\sqrt{a}$ quelle que soit la valeur initiale de la suite. Cet algorithme était utilisé par les Babyloniens pour calculer des racines carrées.

Déterminisme et imprévisibilité

Chaque condition initiale détermine entièrement l'évolution future car il n'y a pas de hasard : le système est déterministe. Cependant, deux conditions initiales très proches peuvent avoir des évolutions complètement différentes. L'évolution du système devient alors imprévisible car une petite erreur de mesure ou un arrondi à la 15ème décimale conduisent à des résultats complètement faux au bout d'un certain temps. C'est le chaos déterministe.

Le météorologue Lorenz a été le premier à réaliser qu'il existe un chaos déterministe. En météo, cela a pour conséquence qu'il sera toujours impossible de prévoir le temps du mois prochain.

Un système chaotique simple

L'évolution d'une population animale peut se modéliser par la fonction f (x)=rx(1-x) : si à un moment donné la population vaut x, à la génération suivante elle vaut f (x) (où x=1 représente la population maximale). Ce système, très simple, permet de modéliser le fait que si la population est faible alors elle va augmenter, mais si la population est trop importante elle va manquer de ressources alimentaires et donc diminuer.

Si le paramètre r est faible, la population se stabilise autour d'une valeur donnée (schéma ci-dessous).

L'image de (horizontalement) est (verticalement). On se sert de la diagonale pour reporter sur l'axe horizontal, puis on applique à nouveau la fonction f pour obtenir , etc. On voit que la suite converge vers un point fixe limite.

Mais si le paramètre r est assez élevé (par exemple r=4) le système est chaotique, comme le montrent les schémas suivants.

À gauche, on a représenté les premières valeurs de la suite des itérés. À droite, on a représenté un plus grand nombre d'itérations, ce qui permet de voir que les différentes valeurs se répartissent un peu partout. Ci-dessous on a représenté symboliquement les variations de population et de ressources alimentaires.

population faible, nourriture abondante acroissement		population trop importante diminution		à long terme, population inconnue

Une statistique du chaos

À long terme, on ne peut pas savoir, même approximativement, quelle sera valeur d'un système chaotique. Par contre, on peut étudier le système d'un point de vue statistique. Une mesure invariante est une mesure de probabilité qui reflète le comportement statistique du système. Il existe plusieurs mesures invariantes pour le même système, plus ou moins pertinentes selon ce qu'on souhaite étudier.

L'entropie est une notion mathématique permettant de quantifier le chaos. Pour étudier le chaos, les mesures invariantes d'entropie maximale sont particulièrement adaptées car elles mettent l'accent sur les comportements les plus complexes, et elles permettent de voir où se concentre cette complexité.

Ci-dessous : 2 exemples de systèmes chaotiques donnés par l'itération d'une fonction. À droite de chaque fonction on a représenté la répartition de la mesure invariante d'entropie maximale (le point d'abscisse x donne la probabilité d'être compris entre 0 et x).

	La mesure invariante d'entropie maximale est répartie sur tout l'intervalle mais elle est davantage concentrée près des extrémités 0 et 1.
	La mesure invariante d'entropie maximale est concentrée sur un ensemble très petit. En dehors de cet ensemble, les points atterrissent sur 0 au bout d'un certain temps.