Rémi Leclercq

[M2 AAG] Variétés différentielles et formes différentielles.

Poly
Exam
Content
Here is what I plan to cover from the lecture notes.
    I. Variétés différentiables
  • 1. Sous-variétés de IR^{n}
      - Théorème d'inversion locale. Modèles locaux.
  • 2. Variétés différentielles
      - Variétés, applications, immersion, submersion, rang constant, difféomorphismes.
      - Partitions de l'unité
  • 3. Contre-exemples et culture
  • 4. Familles d'exemples
      - Sous-variétés, plongements, surface de niveau, produits, difféos locaux, quotients.
      - Exemples cruciaux : sphères, tores, espaces projectifs.
      - Classification des surfaces connexes compactes.
      - Groupes classiques.
    II. Fibrés tangents et cotangents
  • 1. Sous-espaces tangents d'une sous-variété de IR^{n}
      - Vecteurs tangents, espace tangent.
  • 2. Fibrés (co)tangents
      - Fibré tangent d'une variété (abstraite)
      - Fibré tangent d'une sous-variété de IR^{n}, identification avec définition abstraite
  • 3. Application tangente
    III. Champs de vecteurs
  • 1. Opérations sur les champs de vecteurs
  • 2. Flot local d'un champ de vecteurs
      - Théorème de redressement
  • 3. Dérivation des champs de vecteurs
      - Dérivations, propriétés. Dérivée de Lie des champs de vecteurs
  • 4. Crochet de champs de vecteurs
    IV. Formes différentielles
  • 1. Rappel d'algèbre linéaire
      - Formes linéaires, produit extérieur.
  • 2. Fibré des p-formes alternées
  • 3. Formes différentielles
      - Définition, structure d'algèbre, images réciproques.
      - Différentielle extérieure. Existence et unicité.
      - Produit intérieur et dérivée de Lie.
    V. Cohomologie de de Rham
  • 1. Algèbre de cohomologie de de Rham
  • 2. Invariance par homotopie
      - Homotopie, équivalence d'homotopie, espace contractile.
      - Homotopie C^{\infty}, invariance.
      - Passage aux objets C^{0} et invariance.
  • 3. Suite exacte de Mayer-Vietoris
      - Suites exactes. Suite exacte de MV.
      - Caractéristique d'Euler
  • 4. Calcul de la cohomologie des sphères
    VI. Intégration des formes différentielles
  • 1. Intégration deans les ouverts de IR^{n}
      - Intégrations de n-formes.
      - Formule de changement de variables local.
  • 2. Orientation des variétés
  • 3. Intégration des formes différentielles sur les variétés
      - Intégration des top-formes.
      - Formule de changement de variables global.
  • 4. Le théorème de Stokes
      - Variétés à bord.
      - Théorème de Stokes et applications.
  • 5. Cohomologie de de Rham à support compact
      - Suite exacte de Mayer-Vietoris "à support compact".
  • 6. Dualité de Poincaré

Here is what I plan not to cover.   - Le point de vue des faisceaux,
  - les revêtements,
  - les fibrations (hors fibrés vectoriels),
  - les feuilletages,
  - la théorie du degré.