Rémi Leclercq
[M2 AAG] Variétés différentielles et formes différentielles.
- Poly
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- Frédéric Paulin's lecture notes from which I selected the material for the course are available here.
These notes are very detailed, hence the selection (see below for some detail).
- I will order print outs as soon as I know how many are needed and give them to you.
- Exam
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- The exam will take place on Friday Sept 10th.
- Content
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Here is what I plan to cover from the lecture notes.
I. Variétés différentiables
- 1. Sous-variétés de IR^{n}
  - Théorème d'inversion locale. Modèles locaux.
- 2. Variétés différentielles
  - Variétés, applications, immersion, submersion, rang constant, difféomorphismes.
  - Partitions de l'unité
- 3. Contre-exemples et culture
- 4. Familles d'exemples
  - Sous-variétés, plongements, surface de niveau, produits, difféos locaux, quotients.
  - Exemples cruciaux : sphères, tores, espaces projectifs.
  - Classification des surfaces connexes compactes.
  - Groupes classiques.
II. Fibrés tangents et cotangents
- 1. Sous-espaces tangents d'une sous-variété de IR^{n}
  - Vecteurs tangents, espace tangent.
- 2. Fibrés (co)tangents
  - Fibré tangent d'une variété (abstraite)
  - Fibré tangent d'une sous-variété de IR^{n}, identification avec définition abstraite
- 3. Application tangente
III. Champs de vecteurs
- 1. Opérations sur les champs de vecteurs
- 2. Flot local d'un champ de vecteurs
  - Théorème de redressement
- 3. Dérivation des champs de vecteurs
  - Dérivations, propriétés. Dérivée de Lie des champs de vecteurs
- 4. Crochet de champs de vecteurs
IV. Formes différentielles
- 1. Rappel d'algèbre linéaire
  - Formes linéaires, produit extérieur.
- 2. Fibré des p-formes alternées
- 3. Formes différentielles
  - Définition, structure d'algèbre, images réciproques.
  - Différentielle extérieure. Existence et unicité.
  - Produit intérieur et dérivée de Lie.
V. Cohomologie de de Rham
- 1. Algèbre de cohomologie de de Rham
- 2. Invariance par homotopie
  - Homotopie, équivalence d'homotopie, espace contractile.
  - Homotopie C^{\infty}, invariance.
  - Passage aux objets C^{0} et invariance.
- 3. Suite exacte de Mayer-Vietoris
  - Suites exactes. Suite exacte de MV.
  - Caractéristique d'Euler
- 4. Calcul de la cohomologie des sphères
VI. Intégration des formes différentielles
- 1. Intégration deans les ouverts de IR^{n}
  - Intégrations de n-formes.
  - Formule de changement de variables local.
- 2. Orientation des variétés
- 3. Intégration des formes différentielles sur les variétés
  - Intégration des top-formes.
  - Formule de changement de variables global.
- 4. Le théorème de Stokes
  - Variétés à bord.
  - Théorème de Stokes et applications.
- 5. Cohomologie de de Rham à support compact
  - Suite exacte de Mayer-Vietoris "à support compact".
- 6. Dualité de Poincaré
Here is what I plan not to cover.
  - Le point de vue des faisceaux,
  - les revêtements,
  - les fibrations (hors fibrés vectoriels),
  - les feuilletages,
  - la théorie du degré.