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7/1 2h |
Chap 1 : intégration 1. Rappel : intégration en dimension 1. Interprétations de l'intégrale. Propriétés élémentaires de l'intégrale simple. Intégrale, primitive et dérivée. Corollaires: intégration par parties, changement de variable. | |
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8/1 1.5h |
2. Fonctions de 2 variables et domaines réguliers de IR^2 Domaines réguliers. Fonctions continues de 2 variables. 3. Intégrale double et aire d'un domaine Intégrale double, définition. Aire d'un domaine régulier, définition et calcul par (décomposition et) tranches. | |
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13/1 1.5h |
4. Propriétés de l'intégrale double. Linéarité, positivité, croissance par rapport au domaine. Additivité par rapport au découpage du domaine. Propriétés élémentaires de l'intégrale multiple 5. Illustration physique : intégrale et centre de gravité. | |
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14/1 2h |
6. Le théorème de Fubini Fubini dans le plan (Théorème, cas des retangles, idées de démo). 7. Changements de variables. La formule (et l'idée derrière). | |
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20/1 1.5h |
Des jacobiens particuliers : dilatations, isométries. Calculs en coordonnées polaires. | |
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21/1 2h |
8. Intégrales triples Domaines réguliers de IR^3, fonctions de 3 variables continues. Intégrale triple et volume d'un domaine régulier. Centre de gravité d'un solide. Fubini en 3D. | |
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27/1 1.5h |
Changement de variables. Calculs en coordonnées cylindriques. Calculs en coordonnées sphériques. | |
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28/1 2h |
Comparaison coordonnées cylindriques et sphériques.
Interlude : IR^n Définition, droites et plans vectoriels, base canonique. Chap 2 : Systèmes linéaires 1. Présentations des systèmes linéaires. Interprétations comme combinaisons linéaires, codage matriciel. | |
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3/2 1.5h |
2. Systèmes particuliers. (1) Systèmes triangulaires, systèmes de Cramer. (2) Systèmes échelonnés (réduits). Pivots, inconnues principales / secondaires, équations de compatibilité. Résolution d'un système échelonné. 3. Systèmes équivalents et transformations élémentaires. | |
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4/2 2h |
4. Algorithme du pivot de Gauss-Jordan. Obtention d'un système linéaire échelonné (réduit). 5. Notion de rang. Rang d'un système, rang d'une matrice. Nombre de solutions en fonction du rang vs nombre d'équations/d'inconnues. Chap 3 : Matrices et applications linéaires 1. Applications linéaires de IR^p dans IR^n. Définition. | |
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10/2 1.5h |
Caractérisation par la donnée de p vecteurs de IR^n. 2. Matrice d'une application linéaire. 3. Calcul matriciel de l'image d'un vecteur. | |
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24/2 1.5h |
4. Exemples d'applications linéaires du plan. Homothéties, rotations et compositions (i.e similitudes sans translation). Projections / symétries orthogonales sur / par rapport aux axes (Ox) et (Oy). | |
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2/3 1.5h |
5. Opérations sur les matrices et les applications linéaires. Structure d'espace vectoriel. Produit de matrices et composition d'applications linéaires. | |
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3/3 2h |
6. Isomorphismes et matrices inversibles Applications linéaires injectives, surjectives. Isomorphismes. Matrices inversibles. Exemples et méthode de calcul de l'inverse. Cas des matrices 2x2. | |
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9/3 1.5h |
Déterminant et aire des parallélogrammes. 7. Application : Analyse entrée/sortie en économie. Chap 4 : Sous-espaces vectoriels, bases, dimension 1. Sous-espaces vectoriels de IR^n Définition. Noyau et image d'une application linéaire. |
TD 19 (premier TD de la semaine du 23/03) (fin Feuille 4 et) Feuille 5, exos 1-3 |
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16/3 1.5h Notes |
2. Bases et coordonnées. 3. Indépendance linéaire. Famille libre/liée. Famille génératrice est une base ssi elle est libre. |
TD 20 (second TD de la semaine du 23/03) Feuille 5, exos 4-6 |
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17/3 2h Notes |
4. Dimension d'un sev. Définition comme cardinal de toute base. Application (linéaire) "coordonnées". Aperçu des changements de base. 5. Calculs de dimensions et déterminations de bases. Extraction d'une base à partir d'une famille génératrice par échelonnage. Complétion d'une famille libre en base. Dim et base de l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène. |
Feuille 5, exo 7 TD 21 (TD de la semaine du 30/03) Feuille 5, exo 8-10 |
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23/3 1.5h Notes Vidéo |
6. Conséquences utiles. Cardinal des familles libres, génératrices et des bases. Croissance de la dimension. 7. AX = Y et le théorème du rang. Espace affine, structure de l'espace des solutions de AX = Y. Le théorème du rang. Conséquences. 8. Espaces supplémentaires, projections et symétries. Somme directe et espaces supplémentaires. |
Feuille 5, exo 11 TD 22 (TD de la semaine du 20/04) Feuille 5, exo 12-15 TD 23 (TD de la semaine du 27/04) Feuille 5, exo 16 |
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27/3 ~ 2.75h Notes Vidéo 1 Vidéo 2 |
Projections et symétries. Chap 5 : Algèbre linéaire (ou Calcul matriciel dans des bases quelconques) 1. Application linéaire et ses matrices associées. Définition de la matrice de f dans les bases B et B'. 2. Opérations sur les applications linéaires et leurs matrices associées. Composition / multiplication, réciproque / inverse. 3. Changement de bases et matrices de passage. |
Feuille 5, exo 17 Feuille 6, exos 1-2 TD 24 (premier TD de la semaine du 04/05) Feuille 6, exos 3-5 |
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31/3 ~ 1.25h Notes Vidéo |
4. Le cas des endomorphismes. Matrice de passage et changement de base. 5. Trace et déterminant d'un endomorphisme. Trace d'une matrice et d'un endomorphisme. Déterminant en dimension 2. |
TD 25 (second TD de la semaine du 04/05) Feuille 6, exos 6-8 |
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3/4 ~ 2h Notes Vidéo |
Application 2: Moindres carrés, Régression linéaire et variantes 1. Projection orthogonale. sev orthogonal à un sev E donné. E et son orthogonal sont supplémentaires. Théorème de Pythagore. Projection orthogonale. 2. Régression linéaire. Idée générale, méthode des moindres carrés (sur python). 3. Qualité de l'approximation Coefficient de corrélation. 4. Variantes. Approximation quadratique, sinusoïdale, exponentielle, plusieurs variables. | |
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20/4 ~ 1.5h Notes Vidéo |
Application 3: Évolution de systèmes, matrices de transition Pocessus de Markov, matrice de transition, état stationnaire. Matrice de transition irréductibe et théorème de Perron-Frobenius Dans la pratique (python). Généralisation | |
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