Documents pour la préparation au CAPES de mathématiques

Avertissement : Les documents rassemblés dans cette page sont, souvent, issus de questions multiples et variées posées par les élèves de CAPES. La cohérence de l'ensemble n'est donc pas assurée.
Des archives des épreuves d'oral d'avant la masterisation sont disponibles ici.

Arithmétique

• Calculatrices et conjectures : étude sur les développements décimaux des septièmes, treizièmes, quarante-et-unièmes. (2 p)
• Décimaux au CAPES : Les décimaux et les développements décimaux des réels. (5p)
• Les bonbons : Un petit problème d'arithmétique (n divise 2ⁿ-1 ?) (1p)
• Olympiades : Un autre problème d'arithmétique (n divise 2ⁿ + 1) (4p)
• Sur le pgcd (1) : Où l'on voit que le pgcd au sens ordinaire l'est aussi au sens fort (2p)
• Sur le pgcd (2) : Quelques remarques sur l'arithmétique (voisin du précédent) (2p)
• Entiers pour le CAPES : Axiomes de Péano de N et constructions de Z (12p)
• Sous-groupes de Z, pgcd, ppcm : Une rédaction pour l'exposé de CAPES numéro 12 (6p)
• Diophantiennes : Solutions de certaines équations diophantiennes, notamment 3x²- 35y² = c (13p)
• Solutions positives des équations diophantiennes : ap + bq = n, voire ap + bq + cr = n, avec p,q,r,a,b,c > 0 (4p)
• Les Misérables : (et bien d'autres choses ...) sont écrits dans les puissances de 2 (2p)
• Terminator : Trouver un nombre dont le cube se termine par 2009 et autres variantes (5p)
• Annecarre : Où comment la géométrie élémentaire mène à l'arithmétique (4p)
• Le lemme d'Euclide véridique vu par son inventeur ... (1p)
• Le test de Lucas pour la primalité des nombres de Mersenne (4p)

Algèbre

• Un exo rigolo : Une formule de produit de sinus (1p)
• Une inégalité matricielle : Valeurs propres et trace (1p)
• Calcul de puissances de matrices stochastiques (notamment dans le cas 2x2) en terminale ES (10p)
• La méthode de Cardan pour la résolution des équations de degré 3 et son lien avec l'introduction des imaginaires (5p)
• Racine de racine : Comment calculer les racines empilées, par exemple √(2+√(3)) (10p)
• Proportionnalité : Un texte pour traiter la leçon sur la proportionnalité au collège (11p)
• Méthode de Ferrari : Une vision géométrique de la méthode de Ferrari pour résoudre les équations de degré 4 (5p)
• Proportionnalité 2015 : Nouvelle version du texte sur la proportionnalité
  

Calculatrice

• Bézout : méthode élémentaire : Calcul du pgcd et des coefficients de Bézout (méthode élémentaire) (2p)
• Bézout par les matrices : Idem, mais avec la méthode matricielle (1p)
• Exos sur la calculatrice : Les exercices proposés pour l'initiation à la calculatrice au CAPES (4p)
• Tableur et division : Utilisation du tableur CellSheet de la Voyage 200 pour trouver et développement décimal illimité d'un rationnel (4p)

Graphes

• Graphes : Quelques notions de théorie des graphes en vue de traiter les sujets de CAPES sur ce thème (18p)
• Un petit théorème sur les matrices d'adjacence

Géométrie

Les polycopiés du CAPES d'Orsay (auteurs Marie-Claude DAVID, Frédéric HAGLUND, Daniel PERRIN)

• Le polycopié de géométrie affine (52p)
• Le polycopié de géométrie euclidienne (86p)
  

D'autres documents sur la géométrie

• Concours et parallélisme de droites : Condition de concours ou de parallélisme (1p)
• Equations de plans : Lien entre équations cartésienne et paramétrique (2p)
• Le cas obtus du théorème de Fagnano : (2p)
• Théorème de Ptolémée : Caractérisation métrique des quadrilatères inscriptibles (1p)
• Memento sur les coniques : un résumé des propriétés géométriques (4p)
• Hyperbole bifocale : équation à partir de la définition bifocale (1p)
• Equations des ellipses : Crière en termes de groupe homogène de plus haut degré (2p)
• Mesure algébrique et position, application à Thalès (2p)
• Symétries obliques : Décomposition d'une application affine de déterminant 1 en produit de symétries (1p)
• Courbes paramétrées : Les principales définitions (10p)
• Tangentes : tangentes à une courbe paramétrée (3p)
• Exponentielle complexe : un théorème d'unicité de l'exponentielle e(it) (2p)
• Limite de sin x / x : Longueur d'arc, aire de secteur, fonctions trigonométriques (12p)
• Lignes polygonales : Définition, équivalence, invariance par une application affine, une isométrie. Catalogue des lignes polygonales admettant des symétries (43p)
• Droites du plan : Pour traiter la leçon de CAPES sur ce thème (18p)
• Droites et plans de l'espacepour traiter la leçon de CAPES sur ce thème (16p)
• : Les courbes de Bézier(programme BTS) (20p)
• Isometries-planes : Un panorama des isométries du plan pour un traitement élémentaire (conforme aux programmes de lycée, du temps où ils comportaient encore un peu de géométrie ...) (14p)
• Un joli problème de cocyclicité proposé par Oriane Beauvois (5p)
• Bissectrices : Un bilan sur les bissectrices en vue de l'exposé de CAPES sur les droites remarquables du triangle (10p)
• Pappus affine : Une variante affine et élémentaire du théorème de Brianchon, dual de Pappus (2p)
• Produit vectoriel : Deux définitions possibles du produit vectoriel (5p)
• Croissance sinus : Preuves géométriques de la croissance du sinus (3p)
• Triangle dans un carré : Un exercice d'optimisation sur les triangles équilatéraux contenus dans les carrés  (3p)
  
• Angles orientés : Controverse au sujet des angles orientés (6p)
• Trois applications de Thalès : Ménélaüs, Céva, Pappus (6p)
• Elise : Le problème des tiers avec différentes approches (5p)
• Lieux : Quelques exemples de recherches de lieux géométriques (15p)
• Reperes : Exemples d'utilisation de repères (12p)
• Cercles : Construction de cercles donnés par trois conditions (5p)
• Droites 2014 : Nouvelle version, essentiellement analytique (11p)
• PointdeFermat : Une preuve élémentaire du point de Fermat (minimum de MA+MB+MC) (avec P. Gamblin) (11p)
• Polaire affine : Un petit exercice de géométrie affine à saveur projective (4p)

Analyse

Fonctions

• Discussion sur la définition de la limite d'une fonction en un point (2p)
• Dichotomies : Preuves des valeurs intermédiaires et de l'existence du maximum par dichotomie (2p)
• Equation fonctionnelle : Résolution de l'équation f(xy) = f(x)f(y) + yf(x) + xf(y) (4p)
• Un exemple de fonction de deux variables avec divers comportements selon les paramètres (2p)
• Intervalles : Classification des intervalles selon les homéomorphismes (2p)
• Limites de la derivée et de la fonction : Lien entre l'existence d'une limite pour f et f' (1p)
• Définition de l'exponentielle : La définition conforme au programme 2002 (méthode d'Euler) (5p)
• Décroissance exponentielle : Variante utilisant l'équation fonctionnelle(1p)
• Principe de Lagrange : Si la dérivée est positive la fonction est croissante (sans les accroissements finis) (2p)
• Meilleure approximation affine : Son lien avec la dérivation (2p)
• Formule de Taylor-Young : La preuve par récurrence et intégration (2p)
• Les trois formules de Taylor polycopié de P. Gamblin (5p)
• Fonctions plates : Construction de raccords C-infini (3p)
• Series de Fourier : Séries de Fourier pour le CAPES (19p)
• Graphes et fonctions : Dossier 55 (10p)

Intégrales et équations différentielles

• Calcul approché d'intégrales : Les méthodes usuelles (rectangles, trapèzes, point médian, Simpson) avec une preuve unifiée (3p)
• Equation linéaire du second ordre 1 : Le cas du discriminant négatif (1p)
• Equation linéaire du second ordre 2 : La résolution générale (6p)
• Aires, intégrales et primitives : Le point sur l'exposé de CAPES en liaison avec les programmes de terminale (9p)
• Aires, intégrales et primitives (2014) : La même, actualisée (9p)
• Equation linéaire du second ordre 3 : La résolution générale, version élémentaire (8p)

Suites

• Méthode de Bernoulli pour résoudre les équations algébriques (1p)
• Calcul de √2 par la méthode de Héron (2p)
• √2 et les fractions continues (2p)
• L'algorithme de Cordic : Pour calculer les valeurs du logarithme (2p)
• La densité de cos(n) et sin(n) : La densité de ces suites dans [-1,1] (2p)
• Suites homographiques : Les valeurs de non définition des suites homographiques (2p)
• Suites récurrentes géométriques : Le cas où la dérivée est plus petite que 1 mais non nulle, un équivalent (2p)
• Suites récurrentes rapides : Le cas de la convergence rapide des suites récurrentes (2p)
• Suites récurrentes lentes : Le cas où la dérivée au point fixe vaut ± 1 (5p)
• Suites récurrentes : Un polycopié pour le CAPES (14p)
• Contre-exemple sur les points fixes : Où l'on voit que la limite d'une suite récurrente peut ne pas être le point fixe (1p)
• Un exemple de fonction sans intervalle stable (2p)
• Rapidité de convergence : Définition et méthodes d'accélération (Romberg-Richardson, etc.) (6p)
• Formule de Stirling : Une variante bon marché de la formule de Stirling, sans le terme √(2 π), à l'aide des méthodes des rectangles, trapèzes et point médian (5p)

Equations

• Résolution d'équations numériques 1 : Les méthodes classiques (Newton, interpolation, ajustement) (9p)
• Résolution d'équations numériques 2 : Nouvelle version 2007 (8p)
• Exercice sur Newton : Résolution d'une équation de degré 3 (1p)

Problèmes

• Isométries planes : Détermination du sous-groupe des déplacements du plan engendré par les rotations de centres a et b (1p)
• Transformations affines : Affinités, transvections, commutation, conjugaison, etc. (4p)
• Groupe unitaire : Générateurs, conjugaison, simplicité (3p)
• Sous-groupes finis du groupe des isométries de l'espace : Classification, construction du dodécaèdre régulier (3p)
• Symétries, homothéties, projecteurs (avec corrigé) (12 p)