Le projet ERC GEOEDP

De nombreux modèles physiques sont décrits par des équations d'ondes ou plus généralement dispersives (équations de Schroödinger) se propageant dans un milieu non homogène et borné. Des modèles  (principalement dans des milieux homogènes) ont été développés par des mathématiciens. Cependant, de nombreuses questions restent ouvertes même sur ces modèles simplifiés en présence d'inhomogénéités et de frontières. En particulier, les travaux des mathématiciens au cours de la dernière décennie ont permis de mettre en évidence certains comportements pathologiques qui semblent être assez instables.
Un premier point de cette proposition sera de mieux comprendre l'influence de la géométrie (inhomogénéités du milieu, frontières) sur le comportement des solutions aux EDP dispersives.
Lorsque ces comportements semblent instables, une question naturelle est de savoir s'ils sont réellement rares. Ces dernières années ont vu l'émergence d'un nouveau point de vue sur ces questions : les théories de Cauchy à données aléatoires. L'idée sous-jacente est que pour des données initiales aléatoires, les comportements de la solution sont meilleurs que prévu (de manière déterministe). Le deuxième point de ce projet est précisément d'aller plus loin dans cette direction. Après avoir identifié ces comportements pathologiques, est-il possible de montrer que pour presque toutes les données initiales, presque toutes les géométries, ils ne se produisent pas. Comprendre comment combiner les techniques puissantes de l'analyse micro-locale et harmonique avec une approche probabiliste dans ce contexte devrait permettre une bien meilleure compréhension de ces modèles physiquement pertinents. En résumé, le but de mon projet est de développer des outils et de donner des réponses aux questions suivantes dans le contexte des EDP dispersives (et dans une certaine mesure de la mécanique des fluides)

Pouvons-nous comprendre l'influence de la géométrie (et des frontières) sur les propriétés de concentration et le comportement des solutions aux EDP d'évolution dispersives ?

Pouvons-nous définir des comportements génériques pour les solutions aux EDP d'ondes et de fluides ? Pouvons-nous montrer que certains comportements très pathologiques (qui se produisent) sont en fait très rares ?

Appels à candidatures projet ERC GEOEDP

Deux bourses de thèse débutant au plus tot au 1er septembre 2024.

 Deux Post-docs de deux ans chacuns sur les thématiques du projet . Dont l'un commencera entre le 1er septembre 2024 et le 1er octobre 2025 et l'autre entre le 1er septembre 2025 et le 1er octobre 2026

Les candidats travailleront sur  les thématiques du projet
A savoir:
-- Étude de l'influence de la géométrie sur les propriétés de concentration et de dispersion des solutions d'EDP
-- Analyse micro-locale semi-classique,
-- Étude de l'influence d'aléas sur le comportement des solutions d'EDP dispersives non linéaires

Envoyer lettre de motivation & CV à nicolas.burq@universite-paris-saclay.fr.
Une première décision sera prise le 30 juin 2024 au vu des candidatures reçues a cette date. L'appel à candidature sera prolongé pour les postes non pourvus a cette date.

Quelques exposes

• Non-linear Evolution Equations on Domains with Boundary (.pdf)
• The Schrödinger equation on a compact manifold: Strichartz estimates and applications. Journées "Équations aux Dérivées Partielles" (Avec P. Gerard et N. Tzvetkov), Exp. No. V, 18 pp., Univ. Nantes, Nantes, 2001. (.pdf)
• Inegalites de Sogge bilineaires et Equations de Schrodinger non lineaires, Seminaire EDP de l'Ecole Polytechnique (2002-03) (Avec P. Gerard et N. Tzvetkov) (.pdf)
• Estimees multilineaires de projecteurs spectraux et Equations de Schrodinger non lineaires, Seminaire EDP de l'Ecole Polytechnique (2003-04) (Avec P. Gerard et N. Tzvetkov) (.pdf)
• Control Theory and high energy eigenfunctions (2003-04) Journées "Équations aux Dérivées Partielles" (Avec M. Zworski), Univ. Nantes, Nantes, 2004 (.pdf)
• Données initiales aléatoires et théorie de Cauchy pour les ondes sur-critiques, I.H.P. 30/11/2007 (.pdf)
• Low regularity water-waves: canal and swimming pools, Journées EDP Biarritz 2008 (.pdf)
• Random data for PDE's ICM 2010, Hyderabad (text)(slides)
• Control and stabilization of Schrödinger equations on tori: rough potentials Winter school Saint Etienne de Tinée jan 4th--8th 2013 (.pdf)
• The Gaussian free field, Gibbs measures and NLS on planar domains, LAGA Paris-Nord, feb. 20th, 2014(.pdf)
• Large time dynamics for the damped semi-linear Klein-Gordon equation, I.H.E.S. 30/06/2016 (.pdf)
• Control and stabilization of Schrödinger and wave linear equations on tori (HYP 2016, Aachen, aug. 2nd 2016) (.pdf)
• Control and stabilization from geodesic domains (Séminaire Paris-Nord) décembre 2017 (.pdf)
• Almost sure global existence and scattering for the one dimensional NLS (EPFL), octobre 2017 (.pdf )

Mes articles

Mes articles sur la theorie du scattering
 

• N. Burq: Pôles de diffusion engendrés par un coin. Astérisque, 242 (1997). (.dvi).(.ps).
• N. Burq: Décroissance de l'énergie locale de l'équation des ondes pour le problème extérieur et absence de résonance au voisinage du réel. Acta Mathématica, 180, p 1-29, 1998. (.dvi).(.ps).
• N. Burq: Formules de trace, Résonances et quasi-modes (d'après Sjostrand-Zworski, Stefanov-Vodev et al). Séminaire Bourbaki 1998-1999. 856. (.dvi).(.ps).
• N. Burq and M. Zworski: Resonance expansions in semi-classical propagation  Comm. Math. Phys. 223 (2001), no. 1, 1--12.(.dvi) (.ps)
• N. Burq: Lower bounds for shape resonances widths of long range Schrodinger operators. Amer. J. Math. 124 (2002), no. 4, 677--735" (.dvi) (.ps)
• N. Burq: Semi-classical estimates for the resolvent in non trapping geometries". Int. Math. Res. Not. 2002, no. 5, 221--241(.dvi) (.ps)
• J-F. Bony, N. Burq, and T. Ramond. Minoration de la résolvante dans le cas captif. C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 348(23-24):1279–1282, 2010. (.pdf)

Mes articles sur le contrôle des ondes et de Schrodinger
 

• N. Burq: "Contrôle de l'équation des plaques en présence d'obstacles strictement convexes" Mémoire de la S.M.F. 55 (1993). (.dvi)(.ps)
• N. Burq: "Un théorème de controle d'une structure multidimensionnelle" Communications in Partial Differential Equations, 19 (1-2) . p.199-211 (1994). (.dvi) (.ps)
• N. Burq: "Contrôle de l'équation des ondes dans des ouverts peu réguliers." Asymptotic Analysis, 14, p.157-191, (1997). (.dvi).(.ps).
• N. Burq, P. Gérard: Condition Nécessaire et suffisante pour la contrôlabilité exacte des ondes" Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. t. 325, Série I, p.749-752 (1997). (.dvi).(.ps).
• "Mesures semi-classiques et mesures de défaut" (d'après P.Gérard, L.Tartar et al.). Astérisque 245, p. 167-196,  Séminaire Bourbaki 1996-1997. (.dvi).(.ps).
• N. Burq: "Contrôle de l'équation des ondes dans des ouverts comportant des coins." Bull. de la Soc. Math. de France, 126, p. 601-637, 1998. (.dvi).(.ps).
• N. Burq, G. Lebeau: Mesures de défaut, application au système de Lamé . Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 34 (2001), no. 6, 817--870.(.dvi ).(.ps)
• N. Burq and M. Zworski. Geometric control in the presence of a black box. Jour. of the American Math. Society, 17(2):443–471, 2004.
• N. Burq, P. Gérard: Controle optimal des equations aux derivees partielles. Cours de l'Ecole Polytechnique. 2002.
• N. Burq and M. Hitrik. Energy decay for damped wave equations on partially rectangular domains. Math. Res. Lett., 14(1):35–47, 2007.
• N. Burq and M. Zworski. Control for Schrödinger operators on tori. Math. Res. Lett., 19(2):309–324, 2012. .pdf
• J. Bourgain, N. Burq, and M. Zworski. Control for Schrödinger operators on 2-tori: rough potentials. J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 15(5):1597–1628, 2013. .pdf
• N. Burq and C. Zuily. Laplace Eigenfunctions and Damped Wave Equation on Product Manifolds. Appl. Math. Res. Express. AMRX, 2:296–310, 2015. .pdf
• N. Burq and C. Zuily. Concentration of Laplace eigenfunctions and stabilization of weakly damped wave equation. Comm. Math. Phys., 345(3):1055–1076, 2016..pdf
• N. Burq and R. Joly. Exponential decay for the damped wave equation in unbounded domains. Commun. Contemp. Math., 18(6):1650012, 27, 2016. .pdf
• N. Burq and M. Zworski Rough controls for Schroedinger operators on 2-tori arXiv:1712.08635
• N. Burq and P. Gérard Stabilisation of wave equations on the torus with rough dampings arxiv:1801.00983

Mes articles sur les ondes et Schrödinger non lineaires

• "Strichartz inequalities and the nonlinear Schrodinger equation on compact manifolds" (avec P. G"erard et N. Tzvetkov) Amer. J. Math. 126 (2004), no. 3, 569--605 (.dvi)(.ps)
• "An instability property of the nonlinear Schrodinger equation on Sd" (avec P. G"erard et N. Tzvetkov). Math. Res. Let. 9 (2002), no. 2-3, 323--335. (dvi)(.ps)
• "Two singular dynamics of the nonlinear Schrodinger equation on a plane domain" (avec P. G"erard et N. Tzvetkov). Geom. Funct. Anal. 13 (2003), no. 1, 1--19 (.dvi)(.ps)
• " The Cauchy problem for the non linear Schrodinger equation on a compact manifold" (avec P. Gerard et N. Tzvetkov) J. Nonlinear Math. Phys. 10 (2003), suppl. 1, 12--27 (.ps)(.pdf).
• " An example of singular dynamics for the nonlinear Schrodinger equation on bounded domains (avec P. G"erard et N. Tzvetkov). Hyperbolic problems and related topics, 57--66, Grad. Ser. Anal., Int. Press, Somerville, MA, 2003 (.dvi) (.ps)
• "Smoothing effect for Schr\"odinger boundary value problems".  Duke Math. Jour 123-2 (2004), 403--427. (.pdf).
• Global Strichartz Estimates for nontrapping Geometries: About an Article by H. Smith and C. Sogge.  Communications in Partial Differential Equations 28 (2003), no. 9-10, 1675--1683 (article).
• Strichartz estimates for the Wave and Schrodinger Equations with the Inverse-Square Potential (avec F. Planchon, J. G. Stalker, et A. Shadi Tahvildar-Zadeh). Jour. of Fun. Anal. 203 (2003), 2, 519--549 (article)
• Strichartz estimates for the Wave and Schrodinger Equations with critical decay (avec F. Planchon, J. G. Stalker, et A. Shadi Tahvildar-Zadeh). Preprint (2003) (article)
• On non-linear Schrodinger equations in exterior domains (with P. G"erard et N. Tzvetkov) . Ann. I.H.P. 21 (2004), no. 3, 295--318 21 (2004), no. 3, 295--318(.dvi)(.ps)
• Bilinear Eigenfunction estimates and the Nonlinear Schrodinger equations on surfaces (with P. G"erard et N. Tzvetkov) . Invent. Math. 159 (2005), no. 1, 187--223 (.pdf)
• "Multilinear estimates for the Laplace spectral projectors on compact manifolds" (with P. Gerard et N. Tzvetkov). C. R. Math. Acad. Sci. Paris 338 (2004), no. 5, 359--364 .(article)
• "Multilinear Eigenfunction Estimates And Global Existence For The Three Dimensional Nonlinear Schrodinger Equations" (with P. Gerard et N. Tzvetkov). Ann. Sci. ƒcole Norm. Sup. (4) 38 (2005), no. 2, 255--301 (.pdf)
• "Instability for the semiclassical non-linear Schr\"odinger equation" (avec M. Zworski). A paraitre a Comm. Math. Phys. 2003.
• "Smoothing And Dispersive Estimates For 1d Schr\"odinger Equations With BV Coefficients And Applications" (avec F. Planchon To appear in Journal of Functional Analysis). Preprint 2004,
• "On well-posedness for the Benjamin-Ono equation " (avec F. Planchon). Preprint 2005.
• "Global existence for energy critical waves in 3-d domains (avec G. Lebeau et F. Planchon) Journal of the A.M.S., (21):831--845, 2008.
• N. Burq and F. Planchon. Global existence for energy critical waves in 3-d domains: Neumann boundary conditions. American Journal of mathematics, 131(6):1715–1742, 2009. To appear in American Journal of Math. 2008
• N.Burq, P.Gérard and N.Tzvetkov. High frequency solutions of the non linear Schrödinger equation on surfaces. Quart. Appl. Math., 68(1):61–71, 2010. .pdf
• N. Burq. Large-time dynamics for the one-dimensional Schrödinger equation. Proc. Roy. Soc. Edin- burgh Sect. A, 141(2):227–251, 2011.
• N.Burq, G. Raugel ,and W. Schlag. Long time dynamics for damped klein-gordon equations. Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Supérieure, to appear, 2017, .pdf

• "Eigenfunctions for partially rectangular billiards" (avec M. Zworski). Preprint 2003.
• N. Burq. Global Strichartz estimates for nontrapping geometries: about an article by H. F. Smith and C. D. Sogge. Comm. Partial Differential Equations, 28(9-10):1675–1683, 2003. .pdf
• N. Burq. Smoothing effect for Schrödinger boundary value problems. Duke Math. J., 123(2):403–427, 2004.pdf
• N. Burq, P. Gérard, and N. Tzvetkov. Multilinear estimates for the Laplace spectral projector on compact manifolds. Comptes rendus de l’académie des sciences, 338(Sér. I):359–364, 2004..pdf
• "Quantum ergodicity of boundary value problems: a control theory approach" Can. Bull. of Math. 48 (2005), no. 1, 3--15 2003
• "Bouncing ball modes and quantum chaos" (avec M. Zworski). (article) SIAM Rev. 47 (2005), no. 1, 43--49.
• N. Burq and M. Zworski. Bouncing ball modes and quantum chaos. S.I.A.M. Review, 47(1):43–49, 2005..pdf
• N. Burq, P. Gérard, and N. Tzvetkov. Restrictions of the Laplace-Beltrami eigenfunctions to sub- manifolds. Duke Math. J., 138(3):445–486, 2007..pdf
• N. Burq, A. Hassell, and J. Wunsch. Spreading of quasimodes in the Bunimovich stadium. Proc. Amer. Math. Soc., 135(4):1029–1037, 2007. A paraitre aux Proc. AMS. (2005)
• N. Burq, C. Guillarmou, and A. Hassell. Strichartz estimates without loss on manifolds with hyper- bolic trapped geodesics. Geom. Funct. Anal., 20(3):627–656, 2010..pdf
• N. Burq, S. Dyatlov, R. Ward, and M. Zworski. Weighted eigenfunction estimates with applications to compressed sensing. SIAM J. Math. Anal., 44(5):3481–3501, 2012..pdf
• N. Burq. Semiclassical measures for inhomogeneous Schrödinger equations on tori. Anal. PDE, 6(6):1421–1427, 2013..pdf
• N. Burq and H. Christianson. Imperfect geometric control and overdamping for the damped wave equation. Comm. Math. Phys., 336(1):101–130, 2015..pdf
• T. Alazard, N. Burq, and C. Zuily. A stationary phase type estimate. Preprint http://arxiv.org/abs/1511.01439, to appear in Proceedings of the American Mathematical So- ciety, 2016.pdf
• N. Burq, D. dos Santos and K. Krupchyk From semiclassical Strichartz estimates to uniform $L^p$ resolvent estimates on compact manifolds.pdf

• N. Burq and N. Tzvetkov. Invariant measure for a three dimensional nonlinear wave equation. International Mathematics Research Notices n. 22, 2007.pdf
• N. Burq and N. Tzvetkov. Random data cauchy theory for supercritical wave equations I: Local theory. Inventiones Mathematicae, 173:449–475, 2008..pdf
• N. Burq and N. Tzvetkov. Random data cauchy theory for supercritical wave equations II: A global result. Inventiones Mathematicae, 173:477–496, 2008. .pdf
• N. Burq and G. Lebeau. Injections de Sobolev probabilistes et applications. Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), 46(6):917–962, 2013..pdf
• N. Burq and G. Lebeau. Probabilistic Sobolev embeddings, applications to eigenfunctions estimates, Geometric and spectral analysis,Contemp. Math. 630, pp307--318, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2014)..pdf
• N. Burq, L. Thomann, and T. Tzvetkov. Global infinite energy solutions for the cubic wave equation. Bulletin de la Société Mathématique de France, 143(2):301–313, 2015. .pdf
• N. Burq and Nikolay Tzvetkov. Probabilistic well-posedness for the cubic wave equation. J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 16(1):1–30, 2014.
• Nicolas Burq, Laurent Thomann, and Nikolay Tzvetkov. Remarks on the Gibbs measures for nonlinear dispersive equations, to appear in Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse..pdf

Mes articles sur le système des ondes de surface (Euler frontière libre, water waves)

• T. Alazard, N. Burq, and C. Zuily. On the water-wave equation with surface tension. Duke Math Journal, 158(3):413–499, 2011..pdf
• T. Alazard, N. Burq, and C. Zuily. Strichartz estimates for water waves. Annales Scientifiques de l’E.N.S., 44:855–903, 2011. .pdf
• Thomas Alazard, N. Burq, and C. Zuily. The water-wave equations: from Zakharov to Euler. In Studies in phase space analysis with applications to PDEs, volume 84 of Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., pages 1–20. Birkhäuser/Springer, New York, 2013.pdf
• T. Alazard, N. Burq, and C. Zuily. On the Cauchy problem for gravity water waves. Invent. Math., 198(1):71–163, 2014..pdf
• T. Alazard, N. Burq, and C. Zuily. Cauchy theory for the gravity water waves system with non-localized initial data. Annales de l’Institut Henri Poincare (C) Non Linear Analysis, 2015. doi:10.1016/j.anihpc.2014.10.004..pdf
• T. Alazard, N. Burq, and C. Zuily. Strichartz estimates and the Cauchy problem for the gravity water waves equations. to appear in Memoirs of the AMS, pages 1–129, 2016. http://arxiv.org/abs/1404.4276..pdf