Dulac: resummation-theoretic proof.

Dulac: constructive proof.

Le présent ouvrage, qui dans sa conception originelle devait se limiter à la preuve de la "conjecture de Dulac'' (finitude des cycles-limite pour un champ de vecteurs polynomial sur ), a changé de nature en cours de rédaction et s'est mué en quelque chose de nettement plus ample. Sous sa forme actuelle, le livre illustre plusieurs techniques-clef de resommation. Surtout, il introduit deux nouvelles classes de fonctions: les fonctions analysables et les fonctions cohésives , qui semblent promises à de nombreuses applications. Quant à la preuve proprement dite de la conjecture de Dulac, elle est délibérément traitée comme un exercice de resommation et n'occupe plus que deux chapitres sur un total de dix. Les deux chapitres en question sont particulièrement longs, mais leur longueur tient pour une part aux à-cotés et aux compléments qu'ils comportent.

Les fonctions analysables (réelles) sont grosso modo la cloture naturelle de l'algèbre des germes (en , par commodité technique) de fonctions analytiques (réelles) relativement aux opérations et à leurs inverses ( désigne la dérivation et la composition). Les fonctions analysables ont la distinction d' etre entièrement formalisables, c'est-à-dire réductibles à des transséries formelles , qui se présentent comme des sommes bien ordonnées de transmonomes , qui sont eux-memes des échafaudages irréductibles de coefficients réels et de symboles . La trigèbre des fonctions analysables est meme, en un certain sens, la plus grande famille de germes qui soient totalement formalisables et donc totalement "transparents''. Toutefois, les transséries qui leur correspondent sont génériquement divergentes, si bien que la reconstitution de l'objet géométrique à partir de l'objet formel implique un délicat processus d' accéléro-sommation , qui consiste à passer par un nombre fini de "modèles'' intermédiaires reliés les uns aux autres par des opérateurs d'accélération , transmutés par Borel-Laplace des changements de variable . Notons que Dubois Reymond et surtout Hardy semblent avoir pressenti l'existence d'une classe de fonctions analogue à celle des fonctions analysables, de taille et de stabilité maximales, mais que l'absence d'une théorie sommatoire adéquate les a empechés d'aller jusqu'au bout de leur intuition.

Selon la nature de l'accélération ("faible" ou non) reliant les deux modèles consécutifs et ,l'accélérée se présente comme un germe de fonction cohésive ou analytique , possédant toujours un développement unique (généralement ramifié) au-dessus de La classe des fonctions cohésives englobe les plus "régulières" des classes quasianalytiques de Carleman, mais elle possède toutes les propriétés de régularité qui faisaient défaut à ces dernières. Rétrospectivement, ces deux notions d'analysabilté et cohésivité m'apparaissent comme les idées-force du livre. Leur imbrication est étroite et n'a rien de fortuit. C'est précisément la cohésivité des accélérées qui permet de les prolonger d'une facon unique. Mais il y a plus : non seulement les accélérées "faibles" sont cohésives mais, comme on le verra à la fin du livre, toute fonction cohésive est une accélérée faible.

Venons-en maintenant à la conjecture de Dulac. Cette conjecture, que Dulac avait d'ailleurs présentée comme un théorème, mais en l'étayant par des arguments qui n'avaient que l'apparence d'une démonstration, affirme qu'un champ de vecteurs X sur à coefficients polynomiaux possède au plus un nombre fini de cycles-limite, i.e. de trajectoires analytiques closes et isolées. Il suffit de montrer que ces cycles-limite ne peuvent pas s'accumuler et, comme l'accumulation ne pourrait se produire que sur un polycycle (éventuellement réduit à un point ou à un cycle), tout revient à étudier l'application , dite de (premier) retour, associée au polycycle , et à montrer la finitude de ses points fixes isolés, puisque ceux-ci correspondent aux cycles-limite. Il n'est d'ailleurs pas nécessaire de supposer le champ X polynomial : il suffit de le supposer défini et analytique au voisinage de .

La méthode suivie consiste à décomposer l'application de retour en un produit de facteurs , qui sont les applications de passage associées à chacun des sommets du polycycle, puis à envisager la contrepartie formelle de ces applications. Selon les sommets, les facteurs se présentent soit comme des séries formelles, soit comme des transsériesw assez élémentaires. La composée , au contraire, revet la forme d'une transsérie générale, avec des empilements d'exponentielles-logarithmes de complexité potentiellement maximale. Toutefois, cette transsérie est toujours accéléro-sommable . Sa somme est donc une fonction analysable qui, si elle diffère de l'application identique, ne peut posséder que des points fixes isolés.

La démonstration est répartie sur deux chapitres. Le chapitre 3, qui est une étude locale, décrit minutieusement les facteurs et associés aux différents sommets. Le chapitre 4, qui est une étude globale, intègre toute cette information pour aboutir à une description exhaustive de l'application de retour et du passage de à . Ainsi qu'on l'a signalé, ces deux chapitres se veulent une défense et illustration de la théorie de la resommation . Ils mettent en oeuvre une bonne dizaine de méthodes, d'outils et de concepts nouveaux : résurgence, dérivées étrangères, accélérations, médianisation, compensateurs, émanation, transmonomes et transséries, analysabilité, cohésivité, singularités cohésives, quartage, douceur etc ..., qui toutes trouvent à s'appliquer à ce problème particulier, mais dont la portée est beaucoup plus générale. Ajoutons que la présente étude a été écrite sans aucun souci du 16ème problème de Hilbert, meme si celui-ci parait etre l'objectif, pour ne pas dire l'obsession, de la plupart des mathématiciens qui s'intéressent au problème de Dulac.

Tachons maintenant de répondre à deux question qu'on peut légitimement se poser concernant la preuve de la conjecture de Dulac présentée dans ce livre. Cette preuve est-elle la seule possible ? Et quelle est sa longueur véritable ? La longueur d'abord. Si l'on admet (c'est-à-dire si l'on considère comme extérieurs à la preuve ) les éléments de la théorie des fonctions analysables et en particulier la stabilité de ces fonctions par composition, tout se ramène à démontrer l'analysabilité des facteurs pris isolément, ce qui ne demande pas plus d'une dizaine de pages. Si on contraire, comme nous l'avons fait dans ce livre, on tient à construire la notion de fonction analysable à partir de zéro et à établir les principaux résultats de stabilité, on a évidemment une démonstration beaucoup plus longue (peut-etre cent pages incompressibles) mais riche en retombées puisqu'on édifie, à son propos, une théorie susceptible de très nombreuses applications (notamment en théorie des équations différentielles ou fonctionnelles). Voyons maintenant la question de l'unicité de la preuve. Les fonctions analysables vraiment générales ne peuvent pas s'étudier autrement que par les méthodes de ce livre. Mais l'application de retour est une fonction analysable très particulière, puisqu'elles se décompose en facteurs eux-memes très élémentaires, car ne possédant chacun qu'un seul "temps critique'' et par suite sommables par Borel-Laplace, sans recours à l'accélération. On peut dire sans exagérer que est aux "vraies'' fonctions analysables ce que les superpositions fines sont aux "vraies" fonctions analytiques de deux variables. Ce caractère très spécial et passablement élémentaire de fait qu'il existe d'autres moyens d'en aborder l'étude, notamment la méthode, géométique et non-constructive, de Yu. S. Ilyashenko à paraitre dans [Il.2] et basée sur une extension du principe de Lindel f. Il y a aussi les méthodes esquissées au §4.6 de ce livre et basées sur des propriétés d'indépendance (ce sont les "lemmes d'immiscibilité", dont l'unreste encore à prouver --- mais ceux qui sont acquis suffisent déjà simplifier grandement la preuve de la non-oscillation de ). Il y a donc plusieurs manières, authentiquement différentes, de prouver la conjecture de Dulac ou, si l'on préfère, la non-oscillation de . Il me semble toutefois que la méthode exposée dans ce livre soit la seule qui aille au fond de la question, en formalisant totalement l'objet géométrique . Plus pécisément, je suis convaincu de trois choses:

1) Le seul objet formel à coefficients réels qu'on puisse sensément associer à et qui en recèle toute l'information, est la transsérie médiane construite dans ce livre.

2) La seule méthode explicite et constructive permettant de reconstituer à partir de , est la méthode d'accéléro-sommation médiane, exposée dans ce livre.

3) Seule la formalisation totale de , c'est-à-dire sa réduction à l'objet formel , peut offrir une compréhension complète de et de tout ce qu'on peut fabriquer à partir de (par exemple, la non-oscillation des dérivées succesives de ).

La seconde moitié du livre (chapitres 5 à 10) comprend des compléments qui éclairent et prolongent les méthodes mises en oeuvre pour la résolution du problème de Dulac. Le chapitre 5 dégage deux transformations purement formelles sous-jacentes aux transformations fonctionnelles de Borel et de Laplace ("quartage" et "formules cryptolinéaires"). Le chapitre 6 établit l'identité entre les fonctions cohésives et les accélérées faibles, puis en tire les conséquences pratiques. Les chapitres 7,8,9 montrent que les fonctions analysables marquent en quelque sorte l' l'ultime limite de la formalisabilité des germes , et qu'au-delà il n'y a plus rien qui leur ressemble. En effet, du fait de l' asymptotique universelle des germes lents ou rapides et du théorème d'indiscernabilité , il n'existe plus, au-delà de l'échelle des exponentielles et des logarithmes itérés, de fonctions-repère authentiquement canonique et susceptibles de servir de "base" à une tentative de formalisation des germes. Toutefois, ainsi qu'il arrive souvent en mathématiques, ce résultat "négatif" possède une contrepartie "positive" et fort inattendue, à savoir le caractère essentiellement "discret" et "fractal" de l' échelle naturelle de croissance . Tout ceci débouche sur une notion très naturelle d'itération transfinie et sur le "Grand Cantor" , obtenu par élimination des "zones de croissances" qui regroupes tous les "germes indiscernables".

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