·:· Hugues AUVRAY ·:· Résumés

Résumé des articles de recherche :

• The space of Poincaré type Kähler metrics on the complement of a divisor :
On considere un diviseur D à croisements normaux simples dans une variété kählérienne compacte X. On sait depuis les travaux de Tian et Yau que si K_X[D] est ample, alors il existe sur X\D une unique métrique de Kähler-Einstein à singularités cusp le long de D (donc complète et à volume fini). On démontre dans cet article que dans une classe de Kähler arbitraire, toute métrique kählérienne à courbure scalaire constante et à singularités analogues à la métrique de Tian et Yau est unique, si l'on suppose K_X[D]. On obtient ce résultat en généralisant la construction de Chen de géodésiques approchées dans l'espace des métriques kählériennes, et en prouvant une version approchée du théorème de Calabi-Yau ; ces deux résultats intermédiaires sont indépendants de l'amplitude de K_X[D].

• Metrics of Poincaré type with constant scalar curvature: a topological constraint :
Soit D=Σ_j D_j un diviseur à croisements normaux simples dans une variété kählérienne compacte (X,ω₀), de dimension complexe m≤2. Le but de cet article est de démontrer que l'existence d'une métrique kählérienne de type Poincaré ϖ de classe [ω₀] à courbure scalaire constante sur X\D implique pour tout j l'inégalité s<s_{D_j}. Ici, s désigne la courbure scalaire de ϖ, tandis que s_{D_j} désigne la courbure scalaire moyenne associée à l'espace des métriques de Kähler sur D_j, de classe [ω₀|_{D_j}], éventuellement de type Poincaré, selon que D_j intersecte ou non les autres composantes de D. On explique également en quoi ce résultat avait déjà été conjecturé par G. Székelyhidi dans sa thèse lorsque D est réduit à une composante.

• From ALE to ALF gravitational instantons. I :
On donne une construction analytique originale de métriques hyperkählériennes ALF sur certains espaces ALE de type diédral, à savoir ceux correspondant à une résolution minimale de la singularité kleinienne C²⁄D_k, avec D_k le groupe binaire diédral d'ordre 4k, k≤2. On procède par recollement, à forme volume et première structure complexe constantes, de la métrique de Taub-NUT induite sur le quotient C²⁄D_k, avec les métrique hyperkählériennes ALE construites par Kronheimer sur les résolutions de cette singularité. Ceci passe par la résolution d'une équation de Monge-Ampère avec asymptotiques ALF.

• From ALE to ALF gravitational instantons. II :
On généralise dans cet article la construction du précédent, From ALE to ALF gravitational instantons. I ; Plus précisément, on autorise comme structure de départ des instantons ALE de Kronheimer, qui sont des déformations lisses de la structure hyperkählérienne (orbifold) standard sur C²⁄D_k, et plus uniquement des résolutions (pour la première structure complexe) de cette structure. On calcule pour cela le terme dominant, en termes de déformations, des instantons (métrique et structures complexes) de Kronheimer.

• Asymptotic properties of extremal Kähler metrics of Poincaré type :
On considere une variété kählérienne compacte X admettant un diviseur à croisements normaux simples D, et on appelle métriques de type Poincaré sur X\D des métriques kählériennes à singularité cusp le long de D. On démontre que l'existence d'une métrique de type Poincaré à courbure scalare constante (respectivement extrémale) sur X\D implique l'existence d'une métrique, éventuellement de type Poincaré, à courbure scalare constante (respectivement extrémale) sur chaque composante de D. On démontre également que lorsque le diviseur est lisse, la métrique à courbure scalaire constante/extrémale sur X\D est asymptotiquement un produit.

• Note on Poincaré type Kähler metrics and Futaki characters :
Une métrique kählérienne de type Poincaré sur le complément X\D d'un diviseur à croisement normaux D, dans une variété kählérienne compacte X, est une métrique kählérienne sur X\D, à singularité cusp le long de D. On relie dans cet article la caractère de Futaki pour champs de vecteurs holomorphes parallèles au diviseur, défini pour toute classe de Kähler de type Poincaré fixée, au caractère de Futaki classique pour la classe lisse relative. On exprime en application une obstruction numérique à l'existence d'une métrique extrémale de type Poincaré, en termes de courbure scalaire moyenne et de caractère de Futaki.

• Bergman kernels on punctured Riemann surfaces :
On considère une surface de Riemann épointée Σ=Σ̅\{a₁,...,a_N} munie d'une métrique hermitienne égale à la métrique de Poincaré près des a_j, et un d'un fibré en droites holomorphe L polarisant cette métrique. On démontre que le noyau de Bergman se localise près des singularités, avec pour modèle local le noyau de Bergman muni de la métrique de Poincaré standard sur le disque unité épointé. Nous obtenons en corollaire une estimée uniforme optimale de la borne supérieure du noyau de Bergman, impliquant un exposant fractionnaire de la puissance tensorielle du fibré L.

• Extremal Kähler metrics of Poincaré type on toric varieties :
Nous développons une théorie générale de l'existence de métriques kählériennes extrémales au sens d'Auvray, définies sur le complémentaire d'un diviseur torique d'une variété torique polarisée. Dans le cas d'un diviseur lisse, nous obtenons une liste de conditions nécessaires à l'exsitence de telles métriques. En utilisant les méthodes explicites d'Apostolov-Calderbank-Gauduchon, avec l'approche calculatoire de Sektnan, on montre que sur une surface de Hirzebruch complexe, ces conditions nécessaires sont également suffisantes. En particulier, sur une telle surface, le complémentaire de la section à l'infini admet une métrique kählérienne extrémale de type Poincaré, tandis que le complémentaire d'une fibre admet une métrique ambitorique extrémale, qui n'est pas de type Poincaré.

• Quotient of Bergman kernels on punctured Riemann surfaces :
On considère une surface de Riemann équipée d'une métrique hermitienne égale à la métrique de Poincaré près des épointements, et un fibré en droites holomorphe polarisant cette métrique. On démontre que le quotient du noyau de Bergman des grandes puissances tensorielles p du fibré, et du noyau de Bergman du modèle de Poincaré près des singularités, tend vers 1, à des puissances négatives arbitraires de p près.