On s'intéresse ici à la résolution approchée du problème aux limites suivant, avec conditions aux limites de Neumann homogène :
$$
(PN)\left\{\begin{aligned}
&-\Delta u+u=f,\ \textrm{dans }\Omega,\\
&\frac{\partial u}{\partial n}=0, \textrm{dans }\partial\Omega,
\end{aligned}
\right.
$$
où $f:\overline{\Omega}\longrightarrow\mathbb{R}$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ donnée et où $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{R}^2$ donné, de frontière $\partial\Omega$ régulière.
Question 1. Écrire la formulation variationnelle du problème $(P)$ sous la forme
\begin{equation*}
(PNv)\ \ \
\begin{cases}
u\in V \,\textrm{tel que}\\
a(u,v)=L(v),\ \,\forall\ v\in V ,
\end{cases}
\end{equation*}
où $V=H^1(\Omega)$, $a$ est une forme bilinéaire dans $V$ et $L$ une forme linéaire de $V,$ que l'on explicitera.
On suppose désormais que le domaine $\Omega$ est polygonale et on considère une triangulation $T_h$ de $\Omega$, autrement dit un pavage de $\Omega$ par des triangles tel que l'intersection de chaque deux triangles est soit vide, soit une arête complète des 2 triangles, soit un sommet des deux triangles. L'indice $h$ note le diamètre maximal des triangles de $T_h$.
On considère l'espace $V_h$ corespondant à l'approximation de $H^1(\Omega)$ par des éléments finis $P^1$ associés à la triangulation $T_h$ :
$$
V_h=\{\Phi\in C^0(\overline{\Omega})\,|\,\Phi_{|T}\in\mathbb{P}^1,\ \textrm{pour tout } T\in T_h\}.
$$
On note $\{T_N\}_{N=1,\dots,N_{tri}}\ \ \ $ les triangles de $T_h,$ $\{S_I\}_{I=1,\dots,N_{Som}}\ \ \ $ les sommets des triangles la triangulation et $\{\Phi_I\}_{I=1,\dots,N_{Som}}\ \ \ $ les fonctions de $V_h$ définies par
$$
\Phi_I(S_J)=\delta_{IJ},\ I,J=1,\dots,N_{Som}.
$$
Les fonctions $\Phi_I$ sont l'analogue en dimension 2 des fonctions chapeaux que l'on a vu en dimension 1.
On a que $\{\Phi_1,\dots,\Phi_{N_{Som}}\ \}$ est une base de $V_h$ et $V_h$ est donc un sous-espace de $H^1(\Omega)$ de dimension finie $N_{Som}$.
Le problème discret consiste alors à chercher $u_h\in V_h$ tel que
$$
(PNv_h)\ \ \ \ \ \ \ \ \ a(u_h,\Phi_I)=L(\Phi_I),\ \,\forall\ I=1,\dots,N_{Som}.
$$
Question 2. Soit $u_h=\displaystyle{\sum_{I=1}^{{NSom}}u_I\Phi_I}.$ Montrer que $u_h$ est solution de $(PNv_h)$ si et seulement si le vecteur $U=(u_1,\dots,u_{NSom})^T$ est solution d'un système linéaire
$$
KU+MU=F,
$$
où $K$ et $M$ sont les matrices de $\mathcal{M}^{N_{Som}\times N_{Som}}\ \ \ (\mathbb{R})$ définies par
$$
K_{I,J}=\int_{\Omega}\nabla\Phi_J\cdot\nabla\Phi_I,\ \ \ M_{I,J}=\int_{\Omega}\Phi_J\Phi_I,
$$
et où $F$ est le vecteur de $\mathbb{R}^{NSom}$ défini par
$$
F_I=\int_{\Omega}f\Phi_I.
$$
Maillage de $\Omega.$
Dans un premier temps on considère $\Omega$ le carré $[0,2]\times[0,2].$
Pour se répérer dans le maillage du domaine $\Omega$, les triangles et les sommets des triangles sont numérotés respectivement de $1$ à $N_{Tri}$ et de 1 à $N_{Som}$.
La triangulation $T_h$ de $\Omega$ est alors représentée par deux matrices. La première, que l'on appellera dans le programme python $TabTri,$ contient la liste des triangles. Il s'agit d'une matrice de taille $N_{Tri}\times3$ que, dans chaque ligne $N$, contient les 3 indices $I$ des sommets du triangle $T_N.$ La deuxième, que l'on appellera $TabSom,$ contient les coordonnées de chaque sommet de la triangulation. C'est une matrice de taille $N_{Som}\times2$ que, dans chaque ligne $I$ contient les coordonnées du sommet $S_I.$
Le code suivant crée le maillage et ces matrices.
