Dans ce travail [1], nous démontrons la convergence d’une vaste famille de schémas de Boltzmann sur réseau à deux temps de relaxation (TRT) vers la solution faible entropique d’une loi de conservation multidimensionnelle. Nous étudions les conditions sous lesquelles l’opérateur de relaxation, écrit sur les densités de distribution, est monotone non-décroissant par rapport à chaque argument, ce qui permet d’adapter l’idée de preuve par compacité de Crandall-Majda [2], désormais « classique » pour les schémas des volumes finis scalaires. Pour ce faire, nous démontrons des résultats de rigidité qui permettent d’affirmer qu’une relaxation monotone implique la monotonie des équilibres (ou Maxwelliennes), ce qui permet d’utiliser des entropies de Krushkov cinétiques dans les inégalités d’entropie discrètes. L’autre point essentiel de la preuve est un résultat de retour à l’équilibre de la solution discrète, ce qui permet de récupérer uniquement le moment conservé à la limite. Les schémas TRT sont d’une complexité intermédiaire entre les schémas SRT / BGK (déjà étudiés par D. Aregba [3]) et les schémas MRT plus généraux. Dans notre contexte, ils sont intéressants par rapport aux schémas SRT car l’espoir est de pouvoir prendre le paramètre de relaxation pilotant la diffusion numérique le plus possible proche de deux dans le but d’augmenter la précision du schéma, tout en restant dans une zone où le schéma est monotone et donc où la convergence soit prouvable. Cela n’est pas possible dans le cas SRT, car s’obtient en diminuant le paramètre de relaxation qui ne contrôle pas la diffusion numérique. Ce problème affecte particulièrement les schémas avec une vitesse discrète nulle (D1Q3, D2Q5, D2Q9, etc.) dans leur version SRT, où le paramètre de relaxation est souvent astreint à un voisinage de la valeur un par la contrainte imposée par la vitesse discrète nulle. On verra aussi apparaître les « combinaisons » magiques entre les paramètres de relaxation. Je terminerai l’exposé par des illustrations numériques qui corroborent nos résultats théoriques.

Bibliographie :

[1] Aregba-Driollet, D., & Bellotti, T. (2025). Monotonicity and convergence of two-relaxation-times lattice Boltzmann schemes for a non-linear conservation law. arXiv preprint arXiv:2501.07934.
[2] Crandall, M. G., & Majda, A. (1980). Monotone difference approximations for scalar conservation laws. Mathematics of Computation, 34(149), 1-21.
[3] Aregba-Driollet, D. (2024). Convergence of Lattice Boltzmann methods with overrelaxation for a nonlinear conservation law. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 58(5), 1935-1958.