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Le but de ce cours est de couvrir les bases de la géométrie différentielle en s'appuyant sur la connaissance du calcul différentiel, avec pour objectif final la cohomologie de de Rham des variétés. Pour cela nous introduirons donc les variétés, leurs fibrés tangents et cotangents, les champs de vecteurs et leurs flots, et les formes différentielles. Nous verrons alors comment intégrer ces dernières sur les variétés, ce qui nous mènera naturellement à la cohomologie de de Rham et sa célèbre dualité, la dualité de Poincaré. 

• Variétés différentielles : espace tangent et cotangent, fonctions lisses
• Formes différentielles : formes exactes et fermées, lemme de Poincaré.
• Cohomologie de Rham et applications : quelques calculs, cohomologie des sphères
• Intégration des formes de degré maximum : orientation, variétés à bord
• Champ de vecteurs et formules de Lie-Cartan.

Références

• J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, Press. Univ. Grenoble, 1996.
• F. Paulin, Géométrie différentielle élémentaire, Notes de cours, https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~paulin/notescours/cours_geodiff.pdf
• M. Postnikov, Leçons de géométrie : Variétés différentiables, Mir, Moscou, 1990.
• M. Spivak, Differential geometry I, Publish or Perish, Wilmington, 1979.

Résumé

This course will present a toolbox of commutative algebra, with an emphasis on the topological and geometrical behaviours arising from commutative rings.
We will include a review of noetherianity, localizations, Nakayama's lemma, Noether's normalization and Hilbert's Nullstellensatz and dimension theory, as well as sheaf theory and the definition of the affine scheme associated to commutative ring.
The course will end with a rapid introduction to homological algebra and the main features of this toolbox.

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Algèbre commutative, algèbre homologique et théorie des faisceaux. Comme l’indique son titre, ce cours poursuit un triple but :

1. Rappeler et approfondir les connaissances d’algèbre commutative acquises en master 1 (localisation dans les anneaux commutatifs, produit tensoriel, idéaux premiers et maximaux, théorème des zéros de Hilbert, dimension et correspondance algèbre/géométrie).
2. Proposer une brève introduction aux outils essentiels d’algèbre homologique (complexes, cohomologies, résolutions injectives et projectives, foncteurs dérivés).
3. Développer les rudiments de théorie des faisceaux.

Références

• Introduction to commutative algebra, Atiyah-Macdonald
• Introduction to the theory of schemes, Manin
• Commutative algebra with a view towards Algebraic Geometry, Eisenbud
• Commutative Ring Theory, Matsumura
• Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Godement
• An introduction to homological algebra, Weibel

  (Français) :

- Rappels d'analyse fonctionnelle (sans démonstrations) : Dualité, théorèmes de Hahn-Banach, de Baire, de Banach-Steinhaus, du graphe fermé. Topologie faible et faible-étoile, théorème de compacité faible.
- Caractérisation des espaces réflexifs.
- Bases de Schauder et bases inconditionnelles.
- Introduction à la théorie spectrale dans les espaces de Banach, dont alternative de Fredholm.
- S'il reste du temps, introduction à l'interpolation complexe.

Contents (English) :

  *     Overview of basic functional analysis  (theorems without proofs) : Duality, Hahn-Banach, Baire, Banach-Steinhaus, closed graph theorem.
  *     Weak and weak-* topology, Ascoli theorem. Applications.
  *    Spectral theorem in Banach spaces, Fredhohm alternative.
  *    Complex interpolation: at least Riesz-Thorin theorem.

References :
  * H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer-Verlag New York Inc., 2010.
  * J. van Neerven, Functional Analysis, Cambridge University Press, disponible sur https://arxiv.org/abs/2112.11166.
  * J. Bergh, J. Lofstrom, Interpolation spaces, Grund. math Wiss. 223, Springer Verlag 1976.
  * G. Weiss, E. Stein., Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces, Princeton University Press, 1971.
  * F. Albiac, N. Kalton, Topics in Banach space theory (Chapters I, III), Grad Text Math 233, Springer Verlag 2016.

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Un module d’histoire des mathématiques en master de sciences et technologie mention mathématiques répond à un double objectif, tant pour les masters recherche que les masters professionnels. Tout en permettant de travailler autrement des contenus mathématiques, il donnera l’occasion de situer des enjeux d’ordre épistémologique et d’ordre culturel de la discipline et de ses applications à travers l’histoire. En s’attachant à l’histoire de notions mathématiques, que les étudiants ont fréquentées depuis leurs études secondaires jusqu’à leur dernière année de licence, il s’agira de montrer comment ont pu se construire, dans les pratiques même de mathématiciens de différentes époques et cultures, des concepts et des résultats considérés aujourd’hui comme universels. On examinera des dispositifs scientifiques comme les outils théoriques, les modes d’argumentation, les perspectives sur la réalité mathématique et leur relation à d’autres dispositifs culturels. Le module optionnel, de 25 heures (3 ECTS), sera proposé à la fois aux étudiants de M1 et de M2 sur un semestre. Il sera organisé, dans la proportion de un tiers / deux tiers, en cours et TD. Les séances de TD seront consacrées à un travail sur des textes mathématiques originaux et la discussion de travaux de recherche (la plupart en langue anglaise).